Турбороторный двигатель внутреннего сгорания. Силы и моменты
Вращение ротора турбороторного двигателя внутреннего сгорания (ТРДВС) обеспечивается за счет разности сил и моментов, создаваемых давлением газов в рабочих камерах двигателя. Схемы их действия в полостях сжатия и расширения показаны на Рисунках 1 и 2 соответственно. Для их определения необходимо знать текущее давление газов в рабочих камерах в зависимости от угла поворота ротора.
Текущее давление газов в рабочих камерах, где происходит сжатие и расширение рабочего тела, может быть определено из следующих соотношений:
Рисунок 1.
Рисунок 2.
| pркc(φc) = pa· | ( | Vк + Vвс | ) | n1 | , |
| Vркc(φc) |
| (1) |
pркp(φp) = pz
при
Vркp(φp) ≤ ρ · Vк,
(2)
| pркp(φp) = pa· | ( | ρ · Vк | ) | n2 | при | Vркp(φp) > ρ · Vк | , |
| Vркp(φp) |
| (3) |
где
| pa | – | давление в рабочих камерах полости сжатия в момент начала сжатия рабочего тела; |
| Vк | – | объём камер сгорания; |
| Vвс | – | объём сегментообразных вырезов ротора в полости сжатия; |
| Vркс(φc) | – | текущий объём рабочих камер, в которых происходит сжатие рабочего тела; |
| n1 | – | показатель политропы сжатия; |
| pz | – | максимальное давление цикла; |
| ρ | – | степень предварительного расширения рабочего тела; |
| Vркp(φp) | – | текущий объём рабочих камер, в которых происходит расширение рабочего тела; |
| n2 | – | показатель политропы расширения. |
Давление газов в рабочих камерах, где происходят впуск и выпуск рабочего тела, мало отличается от атмосферного, поэтому при проведении оценок будем считать, что
pрквп(φc) = p0
и
pрквп(φp) = p0,
(4)
где
| p0 | – | атмосферное давление. |
Рисунок 3.
Сила давления газов на заслонки полости сжатия со стороны рабочих камер, где происходит сжатие рабочего тела, может быть оценена по формуле
Fc(φc) = pркc(φc) · Ic· bc,
(5)
а со стороны рабочих камер, где происходит впуск рабочего тела, – по формуле
Fвп(φc) = p0 · Ic· bc,
(6)
где
| Ic | – | длина заслонок в полости сжатия. |
Аналогично оцениваются и силы давления газов на заслонки полости расширения со стороны рабочих камер, где происходит расширение и выпуск рабочего тела
Fp(φp) = pркp(φp) · Ip· bp,
(7)
Fвып(φp) = p0· Ip· bp,
(8)
где
| Ip | – | длина заслонок в полости расширения. |
Равнодействующие сил давления газов на заслонки в полости сжатия
Фс(φс) = Fс(φс) – Fвп(φс) = (pркc(φc) – p0) · Ic· bc,
(9)
а в полости расширения
Фp(φp) = Fp(φp) – Fвып(φp) = (pркp(φp) – p0) · Ip· bp.
(10)
Равнодействующие сил давления газов в рабочих камерах на поверхности ротора Qp(φp), Qвып(φp), Qс(φс), Qвп(φс) создают вращающие моменты относительно его оси (см. Рисунки 1 и 2).
Для определения упомянутых моментов выделим элементарную площадку поверхности сегментообразного выреза ротора, соответствующую изменению угла φ на величину Δφ (см. Рисунок 3).
Сила давления газов на элементарную площадку будет равна
Qi = – p(φ) · b · CC`· nio,
(11)
а создаваемый ею элементарный момент относительно оси вращения ротора
| ΔMi = | ( | r – h · (φ + | Δφi | ) | ) | · riox Qi | , |
| 2 |
| (12) |
где
| p | – | давление газов, действующих на элементарную площадку; |
| b | – | ширина диска ротора; |
| CC' | – | длина дуги элементарной площадки; |
| nio | – | единичный вектор нормали к площадке; |
| r | – | радиус цилиндрической части ротора; |
| h(φ) | – | глубина сегментообразного выреза ротора в текущей точке; |
| rio | – | единичный вектор радиус–вектора ri, определяющего положение середины элементарной площадки. |
Из треугольника CC'K следует, что
| CC` = | 1 | · КC` | и | КC = tg αi· КC` | , |
| cos αi |
| (13) |
где
КC` = (r – h · (φ + Δφi)) · Δφi.
(14)
Подставляя (11), (13) и (14) в (12) и учитывая, что
riox nio = – sin αi· mo
(15)
получим
| (16) |
| ΔMi = p(φ) · b · | ( | r – h · (φ + | Δφi | ) | ) | · |
| 2 |
| · (r – h · (φ + Δφi)) · tg αi· Δφi· mo | , |
где
| mo | – | единичный вектор направления оси вращения ротора. |
Суммируя элементарные изменения моментов вдоль дуги А0С при изменении углового положения элементарных площадок от 0 до φ и переходя к пределу, будем иметь
| M(φ) = mo· p(φ) · b · | φ | ∫ | (r – h(φ))2· tg α · dφ | . |
| 0 |
| (17) |
С учётом того, что
Δh(φ) = КС = (r – h · (φ + Δφi)) · tg αi· Δφi
(18)
интеграл в (17) можно преобразовать к виду
| φ | ∫ | (r – h(φ))2· tg α · dφ = | h(φ) | ∫ | (r – h) · dh | . |
| 0 | 0 |
| (19) |
После вычисления интеграла (19) и подстановки в (17) получим
| M(φ) = p(φ) · b · | d – h(φ) | · h(φ) · mo | , |
| 2 |
| (20) |
где
| d | – | диаметр цилиндрической части ротора. |
С помощью формулы (20) несложно определить вращающие моменты, создаваемые силами давления газов на ротор в рабочих камерах ТРДВС.
Вращающий момент, создаваемый силами давления газов на ротор в рабочих камерах, где происходит расширение рабочего тела, будет равен
| Mркp(φp) = pркp(φp) · bp· | d – hp(φp) | · hp(φp) · mo | , |
| 2 |
| (21) |
или с учётом того, что
| pркp(φp) · bp = Fр(φp) · | 1 | , |
| Ip |
| (22) |
| Mркp(φp) = Fр· | hp(φp) | · | d – hp(φp) | · mo | . |
| Ip | 2 |
| (23) |
Аналогично определяются и вращающие моменты, создаваемые силами давления газов на ротор в рабочих камерах, где происходят сжатие, впуск и выпуск рабочего тела
| Mркc(φc) = – Fc· | hc(φc) | · | d – hc(φc) | · mo | , |
| Ic | 2 |
| (24) |
| Mрквп(φc) = Fвп· | hc(φc) | · | d – hc(φc) | · mo | , |
| Ic | 2 |
| (25) |
| Mрквып(φр) = – Fвып· | hр(φр) | · | d – hр(φр) | · mo | . |
| Iр | 2 |
| (26) |
Суммарный крутящий момент от сил давления газов на ротор будет равен
Мкр(φ) = 0,5 · k · (Mркp(φp) + Mрквып(φp) + Mркс(φс) + Mрквп(φс)),
(27)
или с учётом (9), (10), (23-26)
| (28) |
| Мкр(φ) = 0,5 · k · | ( | Фр(φp) · | hp(φp) | · | d – hp(φp) | – |
| Ip | 2 |
| – Фр(φp) · | hc(φc) | · | d – hc(φc) | ) | · mo | , |
| Ic | 2 |
где
| k | – | количество камер сгорания в ТРДВС. |
Поскольку hp(φp) << d, hc(φc) << d и φp ≈ φc, то формулу (28) можно существенно упростить и привести к виду
| Мкр(φ) = 0,5 · k · | ( | Фр(φ) · | hp(φ) | – Фс(φ) · | hc(φ) | ) | · | d | · mo | . |
| Ip | Ic | 2 |
| (30) |
С помощью безразмерных функций и параметров полученные в данном разделе формулы для оценки текущего давления, сил и моментов можно представить в виде:
pркc(φc) = po· pркc(φc),
(31)
pркp(φp) = po· pркp(φp),
(32)
Фc(φc) = po· Ic· bc· Фc(φc),
(33)
Фp(φp) = po· Ip· bp· Фp(φp),
(34)
Mкр(φ) = po· Ip· bp· Mкр(φ),
(35)
где
| pркс(φс) = | ( | Vк + Vвс | ) | n1 | , |
| Vркc(φc) |
| (36) |
pркp(φp) = pz
при
Vркp(φp) ≤ ρ · Vк,
(37)
| pркp(φp) = | pz· | ( | ρ · Vк | ) | n2 | при | Vркp(φp) > ρ · Vк | , |
| Vркp(φp) |
| (38) |
Фc(φc) = (pркс(φс) – 1),
(39)
Фp(φp) = (pркp(φp) – 1),
(40)
Mкр(φ) = 0,25 · k · (pркp(φp) – pркc(φc)).
(41)